[과학을읽다]수학계 60년 난제 '아인슈타인' 찾았다

英 아마추어 수학자 '비주기적 타일' 존재 입증,
하나의 모양으로 패턴 반복 없이 평면 채울 수 있어

영국의 아마추어 수학자가 마침내 수학계의 60년 난제인 '아인슈타인(ein + stein)'을 찾아냈다. 보도블록, 벽지, 목욕탕 타일, 건물 대리석 등은 보통 단순한 문양에 같은 패턴이 반복된다. 쳐다보고 있으면 지루하지 않을 수 없다. 그렇지 않으려면 여러 모양이 필요하고 시공이 까다로워진다. 여기에 싫증을 느낀 과학자들은 지난 60여년간 단 하나의 모양만으로도 패턴 반복 없이 무한대의 평면을 채울 수 있는 도형을 만들 수 없을까에 대해 탐구해왔고, 마침내 답을 얻었다.

1일(현지 시각) 국제학술지 네이처(Nature)에 따르면 영국의 아마추어 수학자 데이비드 스미스와 그의 연구팀은 반복된 패턴없이 단 하나의 모양으로 평면을 무한대로 메울 수 있는 13각형의 '비주기적 타일(aperiodic ties)'이 존재한다는 사실을 증명했다. 스미스와 그의 연구팀은 앞서 지난 3월20일 비슷한 연구 결과를 논문 사전 공유 사이트 아카이브(arXive)에 게재했었다. 그런데 당시만 해도 스미스가 찾아낸 비주기적 타일은 한 개가 아니라 두 개였다. '모자(hat)'를 닮은 13각형의 타일과 그것을 거울이 비쳐 좌우를 바꾼 타일 등 2개가 있어야 패턴 반복없는 무한 평면 배치가 가능했다.

그리고 지난달 29일 마침내 스미스 연구팀은 기존 13각형 타일의 모양을 약간 수정해 타일을 뒤집지 않고도 패턴 반복 없이 평면을 무한하게 메울 수 있다는 연구 결과를 새로 발표했다. 이 연구팀은 자신들이 고안 해낸 이 도형을 '아인슈타인' 모양이라고 부른다. 즉 세기적 천재 물리학자 아인슈타인과 하나의 돌(ein + stein)이라는 뜻의 독일어를 중의적으로 표현한 말이다. 하나의 도형으로 반복된 패턴 없이 벽면을 모두 채울 수 있다는 의미다.

연구팀은 지난 3월 발표한 논문에서 이 13각형 도형을 여러 개 연결한 '메타타일(metatile)'을 만들고, 이를 모아 더 큰 '수퍼타일(Supertile)'을 만들 수 있으며, 이는 무한 반복될 수 있고 이 과정에서 동일한 패턴이 반복되지 않는다는 사실을 입증했다. 각 도형의 길이를 줄이거나 늘리는 등 크기를 바꿔도 역시 반복 패턴을 만들지 않고도 평면을 메울 수 있었다.

1960년대부터 비주기적 타일 찾기는 수학계의 난제였다. 미국의 수학자 로버트 버거가 1963년 2만426가지 도형을 동원하면 패턴 반복 없는 평면 장식이 가능하다는 점을 증명했다. 이후 1974년 로저 펜로즈 영국 옥스퍼드대 교수가 오직 두 가지 모양만으로도 가능하다는 사실을 입증한 바 있다.

김봉수 기자 bskim@asiae.co.kr